호기심 많은 적분 | 방위각

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마트스토돈에서 로빈 휴스턴 동영상을 지적했습니다. 오데드 마르갈리트 이 통합이 왜 공개적인 문제인지 주장했습니다.

$displaystyle{ int_0^inftycos(2x)prod_{n=1}^inftycosleft(frac{x}{n} right) dx }$

터무니없이 가깝다. $frac{pi}{8},$ 그러나 완전히 동등하지는 않습니다.

그들은 소수점 이하 41자리에 동의하지만 동일하지 않습니다!

$displaystyle{ int_0^inftycos(2x)prod_{n=1}^inftycosleft(frac{x}{n}right) dx } =$
$0.3926990816987241548078304229099378605246454...$

동안

$fracpi 8 =$
$0.3926990816987241548078304229099378605246461...$

그래서 우리 중 많은 사람들이 무슨 일이 일어나고 있는지 알아 내려고 노력했습니다.

지친 비수학자들은 그것이 단지 우연의 일치일 뿐이라고 말했습니다. 그래서 설명할 것이 무엇입니까? 그러나 물론 이렇게 가까운 합의가 “우연의 일치”일 가능성은 낮습니다. 그럴 수도 있지만 그런 태도로는 수학에서 아무데도 가지 못할 것입니다.

우리는 그 유명한 코사인 보바인 적분

$displaystyle{ int_0^infty 2 cos(x) prod_{n = 0}^{N} frac{sin (x/(2n+1))}{x/(2n+1)} , dx}$

이것은 같다 $frac{pi}{2}$ ~을 위한 $N$ 최대 55개(더 큰 것은 아님) $N:$

$displaystyle{ int_0^infty 2 cos(x) prod_{n = 0}^{56} frac{sin (x/(2n+1))}{x/(2n+1)} , dx approx frac{pi}{2} - 2.3324 cdot 10^{-138} }$

하지만 그것은 션 오 우리가 고군분투하고 있던 적분이 실제로 $N = 인프티$ 코사인 Borwein 적분의 버전, 즉

$displaystyle{ int_0^infty 2 cos(x) prod_{n = 0}^{infty} frac{sin (x/(2n+1))}{x/(2n+1)} , dx}$

요점은 이것입니다. 를 이용한 약간의 계산 Weierstrass 분해

$displaystyle{ frac{sin x}{x} = prod_{n = 1}^infty left( 1 - frac{x^2}{pi^2 n^2} right) }$

$displaystyle{ cos x = prod_{n = 0}^infty left( 1 - frac{4x^2}{pi^2 (2n+1)^2} right) }$

당신이 보여줄 수 있습니다

$displaystyle{ prod_{n = 1}^infty cosleft(frac{x}{n}right) = prod_{n = 0}^infty frac{sin (2x/(2n +1))}{2x/(2n+1)} }$

따라서

$displaystyle{ int_0^infty cos(2x) prod_{n=1}^infty cosleft(frac{x}{n} right) ; dx = }$

$displaystyle{ int_0^inftycos(2x) prod_{n = 0}^infty frac{sin (2x/(2n+1))}{2x/(2n+1)} dx }$

그런 다음 오른쪽의 변수 변경은 다음을 제공합니다.

$displaystyle{ int_0^infty cos(2x) prod_{n=1}^infty cosleft(frac{x}{n} right) ; dx = }$

$displaystyle{ frac{1}{4} int_0^infty 2cos(x) prod_{n = 0}^infty frac{sin (x/(2n+1))}{x/ (2n+1)} dx }$

그래서 그것을 보여주는

$displaystyle{ int_0^inftycos(2x)prod_{n=1}^inftycosleft(frac{x}{n} right) dx }$

미시적으로 보다 작다 $frac{pi}{8}$ 는 것을 보여주는 것과 같습니다.

$displaystyle{ int_0^infty 2cos(x) prod_{n = 0}^infty frac{sin (x/(2n+1))}{x/(2n+1)} dx }$

미시적으로 보다 작다 $frac{pi}{2}.$

이것은 미스터리를 풀기 위한 명확한 전략을 설정합니다! 사람들은 왜 코사인 Borwein 적분인지 이해합니다.

$displaystyle{ int_0^infty 2 cos(x) prod_{n = 0}^{N} frac{sin (x/(2n+1))}{x/(2n+1)} , dx}$

같음 $frac{pi}{2}$ ~을 위한 $N$ 최대 55, 그런 다음 약간 아래로 떨어집니다. $frac{pi}{2}.$ 올바른 종류의 영화를 보면 메커니즘이 분명해집니다. 매우 시각적입니다. Greg Egan은 여기에서 Hanspeter Schmid의 아이디어를 바탕으로 애니메이션으로 설명합니다.

• 존 바에즈, 결국 실패하는 패턴, 방위각2018년 9월 20일.

또는 간단하지만 관련된 예를 다루는 이 비디오를 시청할 수 있습니다.

• 3블루1브라운, 연구원들은 이것이 버그라고 생각했습니다(Borwein 적분)..

그래서 우리는 그것을 다음과 같이 보여주기만 하면 됩니다. $N to +infty,$ 코사인 Borwein 적분의 값은 더 이상 떨어지지 않습니다! 아주 약간 떨어집니다. 약 $7 times 10^{-43}.$

아아, 이것은 보여주기가 쉽지 않은 것 같습니다. 적어도 나는 아직 어떻게 하는지 모른다. 그러나 완전한 미스터리로 보였던 것이 이제 분석의 골칫거리가 되었습니다.

$displaystyle{ int_0^infty 2 cos(x) prod_{n = 0}^{N} frac{sin (x/(2n+1))}{x/(2n+1)} , dx}$

증가할 때마다 떨어짐 $N$ 약간.

이 시점에서 당신이 충분히 박식하다면 아마도 비명을 지르고 있을 것입니다. “하지만 이것은 모두 잘 알려진 사실입니다!”

그리고 당신 말이 맞아요! 우리는 이 물건을 발견하는 것이 즐거웠지만 새로운 것은 아니었습니다. MathOverflow에 글을 올렸을 때 다음과 같은 논의를 언급하는 기사를 발견했습니다.

• 에릭 W. 와이스타인, 무한 코사인 곱 적분MathWorld—A Wolfram 웹 리소스.

Borwein과 그의 친구들은 이미 그것을 연구한 것으로 밝혀졌습니다. 여기에 약간 있습니다:

• JM Borwein, DH Bailey, V. Kapoor 및 EW Weisstein, 실험 수학의 10가지 문제, 아메르. 수학. 월간 간행물 113 (2006), 481–509.

그리고 이 책에는 더 많은 내용이 있습니다.

• JM Borwein, DH Bailey 및 R. Girgensohn, 수학 실험: 발견을 위한 전산 경로Wellesley, Massachusetts, AK Peters, 2004.

사실 적분

$displaystyle{ int_0^infty 2 cos(x) prod_{n = 0}^{infty} frac{sin (x/(2n+1))}{x/(2n+1)} , dx}$

17세의 Bernard Mares에 의해 발견되었습니다. 분명히 그는 그것이 $frac{pi}{4}.$ Borwein과 다른 사람들은 이것에 뛰어들어 그 방법을 알아냈습니다.

하지만 아직 할 일이 남아있습니다!

내가 말할 수 있는 한, 알려진 증거는

$displaystyle{ frac{pi}{8} - int_0^inftycos(2x)prod_{n=1}^inftycosleft(frac{x}{n} right) dx } ; 대략 ; 7.4073 cdot 10^{-43}$

모두 많은 무차별 대입 계산을 포함합니다. 적어도 대략적으로 이 차이를 이해하는 더 개념적인 방법이 있습니까? 거기 ~이다 명확한 개념적 증거

$displaystyle{ frac{pi}{8} - int_0^inftycos(2x)prod_{n=1}^inftycosleft(frac{x}{n} right) dx } ;; > ;; 0″ class=”latex”/></p> <p>그게 뭐야 <a href=$ 그렉 이건 내 블로그 기사에서 설명했습니다. 하지만 명확한 증거를 얻을 수 있습니까?

$displaystyle{ frac{pi}{8} - int_0^inftycos(2x)prod_{n=1}^inftycosleft(frac{x}{n} proper) dx } ; ; < ; ; 씨$

어떤 작은 상수 $씨,$ 말하다 $10^{-40}$ 그 쯤?

우리가 그렇게 하기 전까지는 Oded Margalit이 옳다고 주장할 수 있습니다. 여기에 미결 문제가 있습니다. 무언가가 사실임을 증명하는 데 문제가 되지 않습니다. 이해의 문제 왜 그건 진실이야.

이 기사는 2023년 1월 4일 수요일 오후 10시 4분에 저장한 기사입니다. 수학. 다음을 통해 이 항목에 대한 응답을 따를 수 있습니다. RSS 2.0 먹이다. 당신은 할 수 있습니다 답장을 남기다또는 트랙백 자신의 사이트에서.

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ByRaymond Perry

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