정사각형을 7개의 유사한 직사각형으로 나누기

이것은 내 게시물의 연속입니다 정사각형을 비슷한 직사각형으로 나누기여기서 저는 이 퍼즐에 대해 논의했습니다. N 비슷한 사각형, 이 사각형은 어떤 비율을 가질 수 있습니까?

Mathstodon의 일부 사람들은 여기에 많은 노력을 기울였고 좋은 진전을 이루었습니다. 하지만 놀라운 새로운 반전이 있었고, 뉴욕 타임즈 이 퍼즐에 대한 기사를 실행했습니다.

• 시오반 로버츠, 정사각형에서 직사각형 찾기, 뉴욕 타임즈2023년 2월 7일. 오픈 액세스 버전 여기.

지금까지의 이야기를 기억하십시오. 언제 N = 3 직사각형의 비율에 대한 3가지 옵션이 있습니다.

나는 Mathstodon의 사람들에게 사건에 대해 물었습니다. N = 4 그리고 그들은 Dan Piker가 여기에 그린 것처럼 11개의 옵션을 찾았습니다.

그때부터 숫자가 가파르게 증가합니다. 누구나 처리할 수 있었던 가장 큰 사건은 N = 7. 이안 헨더슨 이 경우 1371개의 옵션을 찾았습니다.

그리고 그것은 훌륭했습니다 … 하지만 이제 이야기는 더 흥미로워졌습니다. 왜냐하면 Daniel Gerbet이 하나를 더 찾은 것 같기 때문입니다! 예: 1371이 아니라 1372입니다.

그는 두 가지 다른 방식으로 계산을 두 번 했습니다. 그는 나에게 테이블 모든 1372개의 허용된 비율을 오름차순으로 나열하고 그들이 준수하는 다항 방정식과 세분된 사각형의 그림을 함께 나열합니다. 그가 썼다:

계산을 다시 실행한 후 누락되었을 가능성이 있는 사람을 정확히 식별할 수 있었습니다. 바로 1055번째 비율입니다. 파티션 그림은 Ian Henderson과 내가 계산한 테이블의 더 작은 비율과 더 큰 비율에 대해 모두 동일하게 보입니다. 106페이지에서 찾을 수 있습니다. 테이블7개의 직사각형이 있는 파티션용 테이블.

비율은 다항식의 유일한 실근입니다.

첨부된 파일에서 이 비율의 파티션 그림을 찾을 수 있습니다. Ian Henderson은 다른 비율로 파티션을 계산했지만 이 비율과 같은 토폴로지(예: 1022번째 비율)를 사용했습니다.

실제로 Lisanne Taams가 더 간단한 예에서 처음 언급한 흥미로운 사실은 직사각형의 비율이 다른 동일한 토폴로지로 두 개의 파티션을 얻을 수 있다는 것입니다!

다음은 Daniel Gerbet이 발견한 새로운 파티션의 사진입니다.

또한 이 목록에서 1055번째 파티션으로 볼 수 있습니다. 여기서 1372개의 파티션은 54개로 구성된 25개 그룹과 22개 그룹으로 편리하게 그룹화됩니다.

“편리하게”라고 말했지만 물론 농담이었습니다. 이러한 그림을 PDF 파일로 처리하는 것이 더 쉽습니다. Daniel Gerbet은 친절하게도 모든 흥미로운 사례에 대한 그의 PDF를 공유할 수 있도록 허용했습니다. N = 7:

• 정사각형을 세분화하는 3개의 유사한 직사각형에 대해 3개의 허용된 비율 모두.

• 정사각형을 세분화하는 유사한 직사각형 4개에 대해 허용된 비율 11개 모두.

• 정사각형을 세분화하는 유사한 직사각형 5개에 대해 허용된 비율 51개 모두.

• 정사각형을 세분화하는 유사한 직사각형 6개에 대해 허용된 비율 245개 모두.

• 정사각형을 세분화하는 7개의 유사한 직사각형에 대해 1372개 모두 허용된 비율. 또한, 잊지 마세요 이 비율에 따른 다항식을 나열한 더 자세한 표.

당신은 또한 사본을 얻을 수 있습니다 파이썬 프로그램 Daniel Gerbet이 그의 결과를 얻기 위해 사용한 것입니다.

그건 그렇고, 내가 이 소식을 내 친구 Todd Trimble에게 말했을 때 그는 즉시 1372가 7로 나누어진다는 것을 알아차렸습니다. 우연의 일치? 아마.

여기서 좋은 소식은 Daniel Gerbet의 작업이 확인하다 에 대한 이전 계산 N ≤ 6. 이전에는 Ian Henderson이라는 단 한 사람만이 N = 6건. 내 참조 이전 기사 자세한 내용은).

하지만 사건을 해결하는 데 도움을 줄 사람이 필요합니다 N = 7!

부록: 그렉 이건 이 새로운 솔루션이 진짜임을 확인했습니다. 이안 헨더슨 새로운 기능임을 확인했으며, 자신의 프로그램에서 이를 간과하게 만든 버그를 발견했습니다.

그건 진짜야! 저는 계산 시간을 절약하기 위해 코드에서 잘못된 가정을 했습니다. N개의 직사각형 방향을 지정하는 모든 방법을 시도하는 대신 항상 동일한 배열이지만 뒤집힌 것이 생성된다는 가정하에 마지막 직사각형 방향을 같은 방식으로 지정합니다.

문제는 “마지막”이 사각형을 방문하는 순서에 있으며 사각형이 뒤집힐 때 변경될 수 있다는 것입니다! (배열은 여기에서 첨부된 이미지를 참조하십시오. 마지막 직사각형은 #6입니다.

항상 방향을 지정하도록 변경하거나 첫 번째 같은 방식으로 직사각형을 만들거나(항상 왼쪽 상단에 있기 때문에) 해당 코드를 완전히 비활성화하면 총 1372가 됩니다.