정사각형을 유사한 직사각형으로 나누기

정사각형을 일정한 수의 유사한 직사각형으로 나누면 이 직사각형의 비율은 얼마입니까? 우리는 이것에 대해 재미있게 생각하고 있습니다. Mathstodon에여기에 보고서가 있습니다.

정사각형을 3개의 유사한 직사각형으로 나누면 이 직사각형의 비율은 얼마입니까? 세 가지 옵션이 있습니다. 세 번째는 처음 두 개보다 더 복잡합니다.

• 첫 번째 그림과 같이 정사각형을 한 방향이 다른 방향의 1/3 길이인 세 개의 직사각형으로 나눌 수 있습니다.

• 두 번째 그림과 같이 한 방향의 길이가 다른 방향의 2/3인 세 개의 직사각형으로 나눌 수 있습니다.

• 세 번째 그림과 같이 한 방향이 다른 방향보다 x배 긴 세 개의 직사각형으로 나눌 수 있습니다.

x는 무엇입니까? 노란색 직사각형은 높이가 1이고 너비가 x이므로 파란색 직사각형은 너비가 1-x이고 높이가 x(1-x)이고 빨간색 직사각형은 너비가 1-x이고 높이가 (1-x)/x입니다. 파란색과 빨간색 직사각형의 높이는 합이 1이어야 하므로

x(1-x) + (1-x)/x = 1

또는

x²(1-x) + (1-x) = x

x² – x³ + 1 – x = x

x³ – x² + 2x – 1 = 0

그리고 이 3차의 해는

그래서

x ≈ 0.56984

이 숫자의 역수는 유명한 상수의 제곱입니다. 플라스틱 비율, ρ. 이것은 황금 비율의 싸구려 모조품과 같습니다.

ρ^삼 = ρ + 1

세 번째 옵션이 다른 두 옵션보다 훨씬 더 복잡한 이유는 무엇입니까? 보시다시피, 처음 두 개는 모든 직사각형이 ‘같은 방향을 가리키고’ 있기 때문입니다.

패턴을 보기 위해서는 더 어려운 문제를 푸는데 도움이 됩니다.

정사각형을 4개의 유사한 직사각형으로 나누면 이 직사각형의 비율은 얼마입니까? Mathstodon의 많은 사람들이 이 퍼즐을 풀었습니다! 여기 댄 파이커 우리가 찾은 11가지 옵션을 나열합니다.

참고: 정사각형을 4개의 유사한 직사각형으로 나누는 방법은 11가지가 넘습니다. 이러한 그림을 회전 및 반사할 수 있고 일부 직사각형을 재배열할 수도 있기 때문입니다. 그러나 우리는 사각형에 대해 가능한 비율을 11개만 찾았습니다. 스테파노 고지오소 이것이 모든 옵션이라는 증거를 스케치했으며 라훌 나라인 이들은 ‘단두대 절단’에서 얻은 모든 옵션이라는 전산화된 증거를 제공했습니다.

• 위키피디아, 단두대 파티션.

‘단두대 절단’은 기존 다각형의 한 가장자리에서 반대쪽 가장자리로 가는 직선입니다. 그리고 정사각형을 4개의 직사각형으로 나눌 방법이 없다고 생각합니다. 하지 않는다 단두대 컷을 사용합니다.

옵션을 나열하는 과정에서 흥미로운 사실을 발견했습니다. 직사각형은 옵션 1, 4, 7, 10 및 11에서만 합리적인 비율을 갖습니다.

그리고 이것은 모든 직사각형이 같은 방향을 가리키는 옵션입니다! (그들은 모두 누워있고, 키보다 더 넓습니다. 그러나 우리가 사진을 회전시키면 당연히 그들은 모두 서 있을 것입니다.)

퍼즐 1. 정사각형을 모두 같은 방향을 가리키는 n개의 유사한 직사각형으로 세분화하면 짧은 변과 긴 변의 비율 x는 유리수여야 합니다.

퍼즐 2. 그 반대가 사실이 아님을 보여주십시오.

우리는 또한 또 다른 패턴도 발견했습니다. x가 유리수가 아닌 경우 정수 계수가 있는 삼차 방정식의 해입니다.

정사각형을 5개의 유사한 직사각형으로 세분화해도 이 패턴이 유지되나요? 아니, 아아! 이안 헨더슨 그리고 라훌 나라인 정사각형을 5개의 유사한 직사각형으로 세분할 때 정확히 51개의 비율이 가능하다는 것을 보여준 것 같습니다. Henderson은 다음과 같이 그렸습니다.

반면 나라인 51개의 가능한 비율이 따르는 다항 방정식을 나열했습니다.. 일부는 3차가 아닌 정수 계수가 있는 4차 방정식을 따릅니다.

솔직히 나라인은 단두대 절단을 사용하여 정사각형을 5개의 유사한 직사각형으로 세분화하는 방법만 고려했습니다. 하지만 이것은 괜찮을 것입니다. 정사각형을 5개의 직사각형으로 세분하는 방법은 한 가지뿐이라고 믿기 때문입니다. 할 수 없다 단두대 절단을 사용하여 수행됩니다. 여기에서 로버트 도슨의 종이사실은:

그러나 5개의 사각형을 모두 비슷하게 만들려고 하면 가운데 사각형이 한 점으로 축소됩니다.

이안 헨더슨 또한 정사각형을 6개의 유사한 직사각형으로 세분화하면 245 비율의 직사각형이 가능하다고 믿습니다.

그리고 정사각형을 7개의 유사한 직사각형으로 세분화하는 경우, 그는 1371개의 비율이 가능하다고 믿습니다.

이 마지막 두 장의 사진을 클릭하면 확대할 수 있습니다.

그러나 그는 “이 수치를 100% 확신할 수는 없다”고 덧붙였다. 따라서 누군가는 그의 작업을 확인해야 합니다.

퍼즐 3. 단두대 절단을 통해 수행할 수 없는 방식으로 사각형을 6개의 유사한 사각형으로 나눌 수 있음을 보여줍니다.

자, 더 간단한 것으로 돌아가서 정사각형을 4개의 유사한 직사각형으로 나눌 때 가능한 비율은 무엇입니까? 해결하자!

각 옵션에 대해 정사각형을 세분화하는 직사각형의 비율을 설명하는 숫자 0 < x ≤ 1을 얻습니다. 이 숫자는 짧은 변의 길이를 긴 변의 길이로 나눈 값입니다. 아래의 11가지 옵션은 가능한 가장 작은 x 값에서 가장 큰 값까지 나열되어 있습니다.

1) 방법 1은 1×1 정사각형을 가로 세로의 1/4 높이의 직사각형 4개로 나누는 것입니다. 따라서 이 옵션에서 얻은 숫자는 1/4입니다.

이 옵션을 회전하면 키가 크고 가는 직사각형이 되지만 숫자는 여전히 1/4입니다.

2) 옵션 2에서 아래쪽 두 직사각형의 너비는 1이고 높이 x입니다. 따라서 상위 2개의 높이는 1-2x입니다.

녹색 직사각형은 높이가 너비의 x배이므로 너비는 (1-2x)/x여야 합니다. 따라서 노란색 직사각형의 너비는

1 – (1-2x)/x = 1 – x⁻¹ + 2 = 3 – x⁻¹

높이를 x로 나눈 값, 즉 3x⁻¹ – x⁻²입니다. 하지만 높이가 1-2배라는 것을 알고 있으므로

1-2𝑥 = 3x⁻¹ – x⁻²

또는

2x³ – x² + 3x – 1 = 0

그래서

x ≈ 0.34563

3) 옵션 3의 경우 빨간색 직사각형의 높이 x가 있으므로 파란색 직사각형의 높이가 1-x이고 너비 x(1-x) = x−x²이므로 다른 두 직사각형의 너비는 1-(x−x²) = 1- x+x² 및 높이 x−x²+x³. 빨강, 초록, 노랑의 총 높이는 1이므로 x + 2(x−x²+x³) = 1 또는

2x³ – 2x² + 3x – 1 = 0

이것은 준다

x ≈ 0.39661

4) 옵션 4는 좋습니다. 좌우 대칭이며 사각형을 재배치하여 좌우 대칭의 다른 옵션을 제공할 수 있습니다.

빨간색과 파란색 직사각형의 높이는 x입니다. 따라서 녹색과 노란색은 높이가 1-2x이므로 너비(1-2x)/x가 있습니다. 그러나 대칭에 의해 너비가 1/2이어야 한다는 것을 알고 있으므로

(1-2x)/x = 1/2

또는

1-2x = x/2

또는

1 = 5x/2

또는

x = 2/5 = 0.4

이번에는 삼차 방정식이 아니라 선형입니다! 그래서 x는 합리적입니다.

옵션 3, 5, 6, 7은 모두 위상적으로 동일합니다! 그들은에 의해 분석되었다 리잔느그녀의 작업은 저에게 많은 도움이되었습니다.

5) 옵션 5에서 빨간색 직사각형의 높이는 x이므로 파란색의 높이는 1-x이므로 너비(1-x)/x입니다. 따라서 노란색과 녹색의 너비는 1 – (1-x)/x = 2 – x⁻¹이므로 높이는 (2 – x⁻¹)/x = 2x⁻¹ – x⁻² 입니다.

노란색, 녹색 및 빨간색의 높이는 합이 1이어야 합니다.

2(2x⁻¹ – x⁻²) + x = 1

그래서 우리는 입방체를 얻습니다.

x³ − x² + 4x – 2= 0

해결책은

x ≈ 0.53318

6) 옵션 6에서 빨간색 직사각형의 높이는 x이므로 파란색의 높이는 다시 1-x이고 너비는 (1-x)/x입니다.

노란색과 녹색의 너비는 다시 1 – (1-x)/x = 2 – x⁻¹이지만 이제는 다릅니다. 노란색의 높이는 x(2 – x⁻¹)인 반면 파란색의 높이는 (2 – x⁻¹)/x.

노란색, 녹색 및 빨간색의 높이 합계는 1입니다.

x(2 – x⁻¹) + (2 – x⁻¹)/x + x = 1

그래서

3x³ – 2x² + 2x – 1 = 0

또는

x ≈ 0.55232

7) 옵션 7은 옵션 5, 6과 마찬가지로 빨간색 직사각형의 높이가 x이므로 파란색의 높이가 1-x이고 너비가 (1-x)/x입니다.

따라서 노란색과 녹색의 너비는 다시 1 – (1-x)/x = 2 – x⁻¹입니다. 그러나 이번에는 둘 다 높이 x(2 – x⁻¹)를 가집니다.

다시 한 번 노란색, 녹색 및 빨간색의 높이 합계는 1입니다.

x + 2x(2 – x⁻¹) = 1

그래서

5배 = 3

그리고

x = 3/5 = 0.6

방정식은 선형이므로 x는 합리적입니다!

옵션 8, 9 및 10도 모두 토폴로지적으로 동일합니다.

8) 옵션 8에서 빨간색 직사각형의 높이는 x이므로 파란색의 높이는 1-x이고 너비는 (1-x)/x입니다. 녹색과 노란색도 높이가 1-x이지만 너비는 x(1-x)입니다.

파란색, 녹색 및 노란색의 너비 합계는 1입니다.

(1-x)/x + 2x(1-x) = 1

그래서

2x³ − 2x² + 2x −1 = 0

그리고

x ≈ 0.64780

9) 옵션 9에서 빨간색 사각형의 높이는 x이므로 파란색과 녹색의 높이는 1-x이고 너비는 (1-x)/x입니다. 노란색도 높이가 1-x이지만 너비는 x(1-x)입니다.

파란색, 녹색 및 노란색의 너비 합계는 1입니다.

2(1-x)/x + x(1-x) = 1

그래서

2x⁻¹ – 2 + x – x² = 1

또는

x³ – x² + 3x – 2 = 0

그래서

x ≈ 0.71523

10) 위의 세 직사각형이 모두 합동이기 때문에 옵션 10은 8이나 9보다 더 대칭입니다.

빨간색 사각형은 높이 x를 가지므로 파란색, 녹색 및 노란색은 모두 높이가 1-x이므로 너비(1-x)/x가 있습니다.

파란색, 녹색 및 노란색의 너비 합계는 1입니다.

3(1-x)/x = 1

그래서

3(1-x) = x

또는

3 = 4배

또는

x = 3/4 = 0.75

합리적인 해결책을 가진 또 다른 선형 방정식!

11) 마지막으로 옵션 11은 네 개의 직사각형이 모두 합동인 두 번째 옵션입니다. 이번에는 사각형입니다! 분명히

엑스 = 1

그래서 우리는 이 예에서 모든 직사각형이 ‘동일한 방향을 가리키고’ 있을 때 x가 유리수라는 것을 알 수 있습니다.

이 연구를 다음에 어디로 가야할지 잘 모르겠습니다. 그러나 나는 바람개비 구성의 그림과 함께 이 백서에서 암시한 이중 범주와의 연결이 흥미롭다고 생각합니다.

• 로버트 도슨, 이중 범주에서 이진 구성 가능한 다이어그램의 금지된 하위 순서 특성화, 범주의 이론과 응용 1 (1995), 146–153.

아마도 우리는 단두대 절단에 의해 더 작은 직사각형으로 세분되는 직사각형인 2셀이 있는 이중 범주를 진지하게 연구해야 할 것입니다!

그러나 나는 또한 정사각형을 유사한 직사각형으로 나눌 때 나타나는 비율에 대한 흥미로운 수론적 의미가 있기를 계속 희망합니다. 누구든지 흥미로운 패턴을 볼 수 있습니까? 라훌 나라인 정사각형을 5개의 유사한 직사각형으로 나눌 때 이러한 비율에 따른 다항식 표는 무엇입니까? 그의 u는 나의 1/x입니다:

u - 5
u^3 - 4*u^2 + u - 3
u^3 - 4*u^2 + 2*u - 4
2*u - 7
u^3 - 4*u^2 + 3*u - 3
2*u^3 - 6*u^2 + u - 2
u^3 - 3*u^2 + 2*u - 5
u^3 - 3*u^2 + 2*u - 4
2*u^3 - 6*u^2 + 2*u - 2
u^3 - 3*u^2 + u - 1
3*u - 8
u^3 - 3*u^2 + 3*u - 5
2*u^3 - 5*u^2 + u - 2
u^5 - 3*u^4 + 3*u^3 - 4*u^2 + u - 1
-2*u^2 + 6*u - 3
2*u^3 - 5*u^2 + 2*u - 3
3*u - 7
u^4 - 3*u^3 + 3*u^2 - 4*u + 2
2*u^3 - 5*u^2 + 3*u - 3
u^3 - 3*u^2 + 4*u - 4
-u^2 + 4*u - 4
4*u - 8
3*u^3 - 6*u^2 + u - 1
2*u^3 - 4*u^2 + 2*u - 3
u^3 - 2*u^2 + 3*u - 5
3*u^3 - 6*u^2 + 2*u - 2
u^5 - 2*u^4 + 3*u^3 - 5*u^2 + u - 1
2*u^3 - 4*u^2 + 3*u - 4
4*u - 7
u^3 - 2*u^2 + 4*u - 6
-u^3 + 3*u^2 - 4*u + 3
2*u^3 - 5*u^2 + 4*u - 2
2*u^3 - 4*u^2 + 3*u - 3
3*u^3 - 5*u^2 + 2*u - 3
5*u - 8
u^5 - 2*u^4 + 3*u^3 - 4*u^2 + u - 1
-3*u^2 + 6*u - 2
2*u^4 - 4*u^3 + 3*u^2 - 3*u + 1
3*u^3 - 5*u^2 + 2*u - 2
4*u^3 - 6*u^2 + u - 1
-2*u^3 + 4*u^2 - 3*u + 2
2*u^3 - 3*u^2 + 3*u - 4
u^5 - 2*u^4 + 3*u^3 - 4*u^2 + 2*u - 1
5*u - 7
u^3 - 2*u^2 + 3*u - 3
2*u^3 - 3*u^2 + 2*u - 2
-u^3 + 2*u^2 - 4*u + 4
3*u^3 - 5*u^2 + 3*u - 2
3*u^3 - 4*u^2 + u - 1
4*u^3 - 6*u^2 + 2*u - 1
4*u - 5
2*u^3 - 3*u^2 + 4*u - 4
-5*u + 6
6*u - 7