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나는 많은 재미를 가지고있다 Mathstodon에 최근에 여기에 예가 있습니다.

도구 R은 가환적 연관 덧셈, 덧셈에 대해 분배하는 연관 곱셈, r+0 = r인 요소 0을 가지며 0r = 0 = r0 모든 r ∈ R 및 모든 r ∈ R에 대해 1r = r = r1인 요소 1에 대해

장비는 멱등원 모든 r ∈ R에 대해 rr = r인 경우.

2개의 생성기에서 무료 멱등성 장비는 유한합니까? 그렇다면 얼마나 많은 요소가 있습니까?

모건 로저스 Class Concept Group 서버에서 이 문제를 제기했고, 약간의 진행 후에 Mathstodon에서 퍼즐로 이 문제를 제기했습니다. 지금까지 세 사람이 독립적으로 답을 알아냈습니다.

1개 생성기의 무료 멱등성 장비에 대해 생각해 보겠습니다.

예를 들어 2개의 생성기에 대한 무료 멱등성 장비 ㅏ 그리고 비, 최대 4개7 집단. 이를 보려면 먼저 2개의 생성기에서 무료 멱등성 모노이드를 고려하십시오. 미디엄. 이것은 제곱된 모든 것이 그 자체라는 것을 말하는 2개 생성기 모듈로 관계의 무료 모노이드입니다. 여기에는 7가지 요소가 있습니다.

M = {1, a, b, ab, 바, aba, 밥 }

여기에서 시작하여 무료 idempotent 리그를 구성할 수 있습니다. ㅏ 그리고 비 선형 조합을 취함으로써. 그러나 멱등성 리그에서 우리는

1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1)2 = 1 + 1

또는 간단히 4 = 2입니다. 따라서 우리는 5 = 3, 6 = 4 = 2 등을 얻습니다. 따라서 반복적으로 1을 추가하여 얻은 모든 요소는 다음과 같습니다.

0, 1, 2, 3

단 4가지 요소! 2개의 생성기에 있는 무료 멱등성 리그의 요소 4를 자체에 추가하기 시작하면 최대 4개의 다른 요소를 얻습니다.

0, r, 2r 및 3r

부터 미디엄 7개의 요소가 있으므로 2개의 생성기에서 사용 가능한 멱등성 장비는 최대 4개를 갖습니다.7 = 16384개 요소.

그러나 실제로는 다른 관계가 많기 때문에 훨씬 적습니다. 예를 들어 우리는

a + ab + 바 + b = a + b

양쪽이 같기 때문에 (a + b)^2. 더 놀랍게도, MathCuddler 그것을 발견

ab + 바 = aba + 바브

왜냐하면

b+ba = (a b+ba)^2 =
(ab)^2 + (ab)(ba) + (ba)(ab) + (ba)^2 =
= ab + aba + 밥 + 바

뿐만 아니라

아바 + 아바 = (아바 + 아바)^2 =
(aba)^2 + (aba)(bab) + (bab)(aba) + (bab)^2 =
아바 + 아브 + 바 + 밥

그래서 그들은 동등합니다.

그럼에도 불구하고 Mastodon의 세 사람은 컴퓨터의 도움을 받아 관계의 미로를 헤쳐나갔습니다. 알렉스 거닝, 그렉 이건 그리고 시몬 프랑카우.

그들은 모두 2개의 생성기의 무료 멱등성 리그에 284개의 요소가 있다고 결론지었습니다!

당신은 볼 수 있습니다 요소 목록 Simon의 github에서 그의 코드와 함께 요소 목록 Alex의 github에서. ~에 그의 github, Greg Egan은 다음을 게시했습니다. 요소 목록 각 요소를 다음의 7개 요소의 선형 조합으로 작성하는 모든 방법과 함께 미디엄.

다음 질문: 3개 생성기의 무료 멱등성 리그에는 몇 개의 요소가 있습니까?

이것은 더 흥미 롭습니다. 내가 2개 생성기의 무료 멱등성 모노이드에 7개의 요소가 있다고 말했을 때, 여러분은 방금 이것을 보았을 것입니다:

M = {1, a, b, ab, 바, aba, 밥 }

두 글자에 7개의 ‘정사각형이 없는 단어’가 분명히 있기 때문입니다. ㅏ 정사각형 없는 단어 비어 있지 않은 반복 하위 단어를 포함하지 않는 것입니다. 예를 들어 abcba 는 3글자에 사각형이 없는 단어이고 abcbc 아니다.

그러나 자유 멱등성 모노이드에 대해 더 흥미로운 일이 발생합니다. n ge 3 발전기. 언제 n ge 3, 있다 무제곱 단어가 무한히 많습니다. N 편지그러나 자유 멱등성 모노이드는 N 발전기는 여전히 유한하다!

나는 이것을 실제로 이해하지 못한다. 반복되는 하위 단어를 제거하기 위한 WW → W와 같은 재작성 규칙은 종료 및 합류따라서 자유 멱등성 모노이드의 모든 요소를 ​​줄일 수 있습니다. N 정사각형이 없는 단어인 ‘정상 형식’으로 생성합니다. 이것이 사실이라면 자유 멱등성 모노이드가 N 생성기는 무한할 것입니다. N 편지. 따라서 이 알고리즘은 실제로 합류할 수 없는 것 같습니다! 그러나 나는 비합류의 경우를 발견하지 못했다. 여기에서 나를 바로잡는 데 도움을 줄 수 있습니까?

어쨌든, 자유 멱등성 모노이드가 N mills is finite는 무료 idempotent 리그가 켜져 있음을 의미합니다. N 발전기도 유한합니다. 예를 들어 정수 시퀀스의 온라인 백과사전 우리를 확신 3개 생성기의 자유 멱등성 모노이드에는 160개의 요소가 있습니다. 이를 감안할 때 3개의 생성기에서 자유 멱등성 리그는 ≤ 4여야 합니다.160 요소, 내가 2개의 생성기에 대해 준 동일한 주장에 의해. 그러나 실제로는 훨씬 더 적어야 합니다.

숫자를 계산할 만큼 용감한 사람이 있습니까?

이 기사는 2022년 12월 21일 오후 12시 51분에 저장한 글입니다. 수학. 다음을 통해 이 항목에 대한 응답을 따를 수 있습니다. RSS 2.0 먹이다. 당신은 할 수 있습니다 답장을 남기다또는 트랙백 자신의 사이트에서.

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