[ad_1]
나는 많은 재미를 가지고있다 Mathstodon에 최근에 여기에 예가 있습니다.
ㅏ 도구 R은 가환적 연관 덧셈, 덧셈에 대해 분배하는 연관 곱셈, r+0 = r인 요소 0을 가지며 
장비는 멱등원 모든 r ∈ R에 대해 rr = r인 경우.
2개의 생성기에서 무료 멱등성 장비는 유한합니까? 그렇다면 얼마나 많은 요소가 있습니까?
모건 로저스 Class Concept Group 서버에서 이 문제를 제기했고, 약간의 진행 후에 Mathstodon에서 퍼즐로 이 문제를 제기했습니다. 지금까지 세 사람이 독립적으로 답을 알아냈습니다.
1개 생성기의 무료 멱등성 장비에 대해 생각해 보겠습니다.
예를 들어 2개의 생성기에 대한 무료 멱등성 장비 
여기에서 시작하여 무료 idempotent 리그를 구성할 수 있습니다. 
1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1)2 = 1 + 1
또는 간단히 4 = 2입니다. 따라서 우리는 5 = 3, 6 = 4 = 2 등을 얻습니다. 따라서 반복적으로 1을 추가하여 얻은 모든 요소는 다음과 같습니다.
0, 1, 2, 3
단 4가지 요소! 2개의 생성기에 있는 무료 멱등성 리그의 요소 4를 자체에 추가하기 시작하면 최대 4개의 다른 요소를 얻습니다.
0, r, 2r 및 3r
부터 
그러나 실제로는 다른 관계가 많기 때문에 훨씬 적습니다. 예를 들어 우리는
양쪽이 같기 때문에 
왜냐하면
뿐만 아니라
그래서 그들은 동등합니다.
그럼에도 불구하고 Mastodon의 세 사람은 컴퓨터의 도움을 받아 관계의 미로를 헤쳐나갔습니다. 알렉스 거닝, 그렉 이건 그리고 시몬 프랑카우.
그들은 모두 2개의 생성기의 무료 멱등성 리그에 284개의 요소가 있다고 결론지었습니다!
당신은 볼 수 있습니다 요소 목록 Simon의 github에서 그의 코드와 함께 요소 목록 Alex의 github에서. ~에 그의 github, Greg Egan은 다음을 게시했습니다. 요소 목록 각 요소를 다음의 7개 요소의 선형 조합으로 작성하는 모든 방법과 함께
다음 질문: 3개 생성기의 무료 멱등성 리그에는 몇 개의 요소가 있습니까?
이것은 더 흥미 롭습니다. 내가 2개 생성기의 무료 멱등성 모노이드에 7개의 요소가 있다고 말했을 때, 여러분은 방금 이것을 보았을 것입니다:
두 글자에 7개의 ‘정사각형이 없는 단어’가 분명히 있기 때문입니다. ㅏ 정사각형 없는 단어 비어 있지 않은 반복 하위 단어를 포함하지 않는 것입니다. 예를 들어 
그러나 자유 멱등성 모노이드에 대해 더 흥미로운 일이 발생합니다. 
나는 이것을 실제로 이해하지 못한다. 반복되는 하위 단어를 제거하기 위한 WW → W와 같은 재작성 규칙은 종료 및 합류따라서 자유 멱등성 모노이드의 모든 요소를 줄일 수 있습니다. N 정사각형이 없는 단어인 ‘정상 형식’으로 생성합니다. 이것이 사실이라면 자유 멱등성 모노이드가 N 생성기는 무한할 것입니다. N 편지. 따라서 이 알고리즘은 실제로 합류할 수 없는 것 같습니다! 그러나 나는 비합류의 경우를 발견하지 못했다. 여기에서 나를 바로잡는 데 도움을 줄 수 있습니까?
어쨌든, 자유 멱등성 모노이드가 N mills is finite는 무료 idempotent 리그가 켜져 있음을 의미합니다. N 발전기도 유한합니다. 예를 들어 정수 시퀀스의 온라인 백과사전 우리를 확신 3개 생성기의 자유 멱등성 모노이드에는 160개의 요소가 있습니다. 이를 감안할 때 3개의 생성기에서 자유 멱등성 리그는 ≤ 4여야 합니다.160 요소, 내가 2개의 생성기에 대해 준 동일한 주장에 의해. 그러나 실제로는 훨씬 더 적어야 합니다.
숫자를 계산할 만큼 용감한 사람이 있습니까?
이 기사는 2022년 12월 21일 오후 12시 51분에 저장한 글입니다. 수학. 다음을 통해 이 항목에 대한 응답을 따를 수 있습니다. RSS 2.0 먹이다. 당신은 할 수 있습니다 답장을 남기다또는 트랙백 자신의 사이트에서.
[ad_2]
Source_