단두대 파티션과 히파르코스 오페라

사각형을 해부하면 N 비슷한 사각형, 이 사각형은 어떤 비율을 가질 수 있습니까? Mathstodon의 사람들은 이것을 알아냈습니다. N ≤ 7, 그리고 나는 최근에 여기 블로그에 올렸습니다.. 그러나 나는 어떤 더 깊은 구조가 이 문제를 지배하고 있다는 느낌이 들었다.

다음을 포함하여 Mathstodon의 다양한 사람들 스티븐 스타니키, 데이비드 엡스타인 그리고 라훌 나라인, ‘단두대 파티션’이라고 불리는 특정 부류의 해부의 중요성을 확신시켰습니다. 나는 이것들이 내가 한때 여기에 대해 블로그에 올린 적이 있는 오페라인 ‘Hipparchus operad’와 연결되어 있다고 의심하기 시작했습니다. 그리고 어젯밤에 일부 조각을 모았습니다. 아직 할 일이 더 있긴 하지만요.

어젯밤에는 요양원에 계신 이모 걱정으로 불면증에 시달렸습니다. 잠들기 위해 나는 수학에 대해 생각했다. 단두대 파티션에 대한 아이디어가있었습니다.

정사각형의 ‘단두대 구획’에서는 남은 부분을 수직 또는 수평으로 절단하여 직사각형 조각을 반복적으로 자르고 제거합니다.

• 위키피디아, 단두대 파티션.

2번 절단하는 단두대 분할에는 6가지 유형이 있으므로 2차 슈뢰더 수는 6이라고 합니다.

처음 몇 개의 슈뢰더 수 다음과 같이 가십시오.

등. 예를 들면, 아래와 같이 3개의 절단이 있는 정사각형의 단두대 파티션에는 22가지 유형이 있기 때문입니다.

컷이 항상 대각선에 있는 균일한 간격의 점을 통과하도록 배열할 수 있습니다. 이것은 ‘유형’의 개념을 정확하게 만드는 저렴한 방법입니다. 이 속성을 가진 단두대 파티션만 계산합니다.

(단두대 분할의 ‘유형’을 특정 등가 관계 아래의 등가 클래스로 정의하는 것이 아마도 더 나을 것입니다. 간단히: 단두대 분할로 시작하여 다른 수평 절단에 부딪히지 않고 수평 절단을 위 또는 아래로 이동하거나 오른쪽으로 수직 절단하거나 다른 수직 절단에 부딪히지 않고 가볍게 하면 동일한 유형의 단두대 칸막이가 생깁니다. 균일한 간격의 점을 사용하는 트릭은 각 유형의 대표적인 단두대 칸막이를 선택하는 방법일 뿐입니다.)

슈뢰더 수에 대한 자세한 내용은 여기에서 확인할 수 있습니다.

• 위키피디아, 슈뢰더 수.

첫 번째 절단이 수직이 되도록 요구하면 절단이 전혀 없는 경우를 제외하고 단두대 칸막이가 절반으로 줄어듭니다. 이것은 ‘작은 슈뢰더 수’를 제공합니다.

예를 들어 3개의 절단이 있는 단두대 칸막이에서 첫 번째 절단이 수평인 부분을 지우면 11개가 남습니다.

여기에서 작은 슈뢰더 수에 대해 읽을 수 있습니다.

• 위키피디아, 슈뢰더-히파르코스 수.

작은 슈뢰더 수는 이제 ‘슈뢰더–히파르쿠스 수’라고도 불립니다. 왜냐하면 플루타르코스는 서기 50년에서 120년 사이에 다음과 같이 썼기 때문입니다.

Chrysippus는 10개의 간단한 명제만으로 만들 수 있는 복합 명제의 수는 백만 개가 넘는다고 말합니다. 확실히 Hipparchus는 긍정적 측면에 103,049개의 복합 진술이 있음을 보여줌으로써 이것을 반박했습니다…

이것은 1994년 수학 대학원생인 David Hough가 103,049가 9번째 작은 슈뢰더 수라는 것을 깨달을 때까지 완전히 불가사의했습니다!

기원전 150년경 히파르코스가 작은 슈뢰더 수를 가지고 장난을 친 이유는 무엇입니까?

(N-1)st little Schröder 수는 다음을 갖는 평면 트리의 수이기도 합니다. N 각 노드에 0, 2, 3, 4, 5 등의 자식이 있는 곳을 떠납니다. 한 아이만 빼고!

예를 들어 8개의 잎을 가진 이 나무는 7번째 작은 슈뢰더 수 이후로 4279개의 나무 중 하나입니다. ,는 4279입니다:

Hipparchus는 아마도 10개의 잎사귀를 가진 그러한 나무를 연구했을 것입니다! 103,049개가 있습니다.

하지만 기다려! 왜 N작은 슈뢰더 수 둘 다:

정사각형의 단두대 분할 유형 수 N 첫 번째 절단이 수직인 절단

그리고

평면 트리의 수 N각 노드가 1을 제외한 모든 수의 자식을 갖는 +1 잎

?

이것은 작은 슈뢰더 수를 단두대 칸막이에 연결한 후 불면증에 걸렸을 때 알아낸 것입니다.

질문을 표현하는 더 좋은 방법은 다음과 같습니다.

정사각형의 단두대 분할 유형의 수 N 첫 번째 컷이 수직인 직사각형

동일

평면 트리의 수 N 각 노드가 1을 제외한 모든 수의 자식을 갖는 경우 잎

?

좋은 전단사 증거가 있습니다. 다음은 이러한 트리와 이러한 유형의 단두대 파티션 간에 1-1 대응을 설정하는 방법입니다.

트리의 각 노드는 직사각형에 해당합니다. 최상위 노드는 분할하려는 전체 사각형에 해당합니다. 그런 다음 노드가 있을 때 N 아이들, 당신은 그것의 직사각형을 잘라 N 원하는 방식으로 평행선을 사용하여 더 작은 직사각형. 이들은 노드의 자식입니다.

나무 아래로 작업하면서 먼저 수직선으로 자르고 그 다음에는 수평, 그 다음에는 수직 등으로 자릅니다.

따라서 첫 번째 컷은 항상 수직입니다!

이 대응을 사용하여 정사각형의 단두대 분할 유형을 N 첫 번째 컷이 수직인 직사각형은 N 잎이 아닌 각 노드에 적어도 두 개의 자식이 있는 잎!

거의 10년 전, 나는 그러한 나무가 2인자 1개의 연산, 3인자 1개의 연산 등에서 자유 연산에서도 연산이라는 것을 알아차렸습니다. 이것이 ‘편향되지 않은 마그마’를 위한 연산이라고 말할 수 있습니다. 나는 여기에 대해 썼고 그것을 ‘Hipparchus operad’라고 불렀습니다.

• 존 바에즈, 히파르코스가 운영하는2013년 4월 1일.

이 블로그 게시물은 몇 가지 농담이 포함된 이상하지만 모든 중요한 측면에서 사실이기 때문에 ‘메타 만우절 농담’이었습니다.

Hipparchus 오페라는 논평에서 논의된 것처럼 다른 수학 분야와 잘 연결되어 있습니다. 예를 들어 작은 Schröder 수는 Stasheff의 연관면체를 무게 중심으로 세분할 때 나타나는 나무 수를 셉니다! 여기에는 11개의 나무가 있습니다.

이 나무들 각각은 첫 번째 절단이 수직인 사각형의 단두대 파티션 유형을 제공합니다.

그래서 여기에 놀 것이 많이 있습니다!

이것이 이 문제를 이해하는 데 도움이 되기를 바랍니다.

• 존 바에즈, 정사각형을 비슷한 직사각형으로 나누기.

이것은 정사각형의 단두대 파티션을 형성하는 유사한 직사각형에 대해서만 작동합니다. 그러나 그것들은 매우 흥미 롭습니다! 그런 경우에는 내가 설명하는 종류의 트리를 선택하고 각 잎사귀에 ‘수직’ 또는 ‘수평’ 레이블을 지정하여 해당 직사각형이 키가 크고 가늘거나 짧고 쪼그려 있는지 여부를 지정하면 됩니다. 그러나 좀 더 생각이 필요합니다.

더 불쾌한 주제에서 마음을 돌이켜 잠들려고 할 때 가끔 일어나는 일입니다. 당신에게도 이런 일이 발생합니까?

어쨌든, 오늘 이모에게 전화를 걸었는데 그녀는 실제로 잘 지내고 있습니다. 어제 크리스마스 날에 하는 걸 깜빡했어요. 아아!!!

때때로 나는 순수한 수학이 현실과 직면하는 것을 피하기 위한 정교한 속임수에 불과하다고 생각합니다.

감사의 말

단두대 칸막이의 그림은 Robertd가 그렸습니다. 위키커먼즈 Artistic Commons Attribution 3.0 Unported 라이선스에 따라. 나무 그림은 Etienne Ghys의 기사에서 가져온 것입니다. Quand beaucoup de courbes se rencontrent. 무게 중심으로 세분된 Stasheff 오각형의 그림은 Tom Leinster의 책에서 가져온 것입니다. 상위 피연산자, 상위 범주.