금주의 발견 – 강의 10

올해 마지막 강의였습니다. 이번 주 발견. 10개의 강의를 모두 보실 수 있습니다 여기. 2023년 9월에 계속하겠습니다.

이번에는 물리학의 쿼터니언과 Dyson의 ‘3중 방식’에 대해 이야기했습니다. 즉, 실수, 복소수 및 쿼터니언이 상호 작용하는 방식입니다. 자세한 내용은 내 논문을 사용해보십시오. 나눗셈 대수학 및 양자 이론.

한 가지 귀여운 사실은 전자가 쿼터니언과 같다는 것입니다! 보다 정확하게: ℂ²에서 SU(2)의 스핀 1/2 표현에서 쿼터니언이 어떻게 나타나는지.

여기에 대해 조금 말씀드리겠습니다.

그룹 SU(2)를 단위 쿼터니언의 그룹으로 생각할 수 있습니다. 즉, 𝑞 with |𝑞| = 1. 스피너의 공간 ℂ²를 쿼터니언의 공간 ℍ로 생각할 수 있습니다. 그런 다음 SU(2)의 요소에 의해 스피너에 작용하면 왼쪽의 쿼터니언에 단위 쿼터니언이 곱해집니다!

그런데 이 이야기에서 스피너에 𝑖를 곱한다는 것은 무엇을 의미합니까? 쿼터니언을 곱하고 있습니다. 오른쪽 쿼터니언 𝑖로. 참고: 이것은 모든 단위 쿼터니언에 의한 왼쪽 곱셈으로 통근합니다.

그러나 여기에는 약간의 미묘함이 있습니다. 예: 오른쪽의 쿼터니언에 𝑗를 곱합니다. 또한 단위 쿼터니언에 의한 왼쪽 곱셈으로 통근합니다. 그러나 𝑗는 𝑖와 통근하지 않습니다.

𝑖𝑗 = −𝑗𝑖

따라서 SU(2)의 동작으로 통근하는 스피너에는 ‘반선형’ 연산자가 있어야 합니다. 즉, 𝑖의 곱셈으로 반통근하는 연산자입니다. 게다가 이 연산자는 -1로 제곱합니다.

물리학에서 이 연산자는 일반적으로 ‘시간 반전’이라고 합니다. 각운동량을 뒤집습니다.

다른 것도 알아차렸어야 합니다. 쿼터니언을 복잡한 벡터 공간으로 만들기 위해 𝑖에 의한 올바른 곱셈을 선택한 것은 임의적이었습니다. 임의의 단위 허수 쿼터니언이 가능합니다! 시간 역전 연산자로 𝑗를 선택한 데에도 임의성이 있었습니다.

따라서 스피너 공간에는 서로 다른 복잡한 구조의 전체 2구가 있으며, 모두 SU(2)의 작용에 의해 보존됩니다. 그리고 우리가 하나를 선택한 후에는 가능한 다른 시간 반전 연산자의 원이 있습니다!

지금까지 내가 말하고자 하는 것은 쿼터니언이 스핀 1/2 입자에 대한 몇 가지 사실을 명확히 하는 데 도움이 된다는 것입니다.

예를 들어, 나는 항상 시간 반전 연산자 선택의 자의성에 놀랐습니다. 물리학자들은 보통 하나만 선택합니다! 그러나 이제 나는 그것이 쿼터니언에서 -1의 두 번째 제곱근의 선택에 해당한다는 것을 알고 있습니다. 하나는 우리가 첫 번째 선택인 𝑖라고 부르는 것과 반대 방향입니다.

최소한 재미있습니다. 그리고 그것은 우리가 시도할 수 있는 몇 가지 새로운 것을 제안할 수도 있습니다: 시간 역전 대칭 ‘측정'(우리가 어디에 있는지에 따라 그 정의를 변경) 또는 심지어 스피너에서 복잡한 구조를 측정하는 것과 같은 것입니다.